고등학교 수학 Ⅰ과정 배열 단원으로 다양한 배열에 관한 내용을 공부합니다.#1. 등차수열의 귀납적 정의 (점화식) $\combi{a}_{n+1}=\combi{a}_n + d\left (정수 \right) $an + 1=an + d(정수)
여기서 d는 빈차입니다.#2. 등비수열의 귀납적 정의 $\combi{a}_{n+1}=\combi{a}_n+r\left(정수 \right)$an+1=an+r(정수)
여기서 r은 공비입니다.#3. 등차수열 공차(d) 대신 n에 대한 식이 더해지는 것 같습니다. $\combi{a}_{n+1}=\combi{a}_n+f\left(n\right)$an+1=an+f(n)
인기글
<풀이 방법> 1’st: n=1, 2, 3, …, (n-1)까지 대입한다. 대입하여 나온 식을 세로로 배열한다. 2’nd: 왼쪽 변끼리, 오른쪽 변끼리를 더한다. (순차 대입법)#4. 등비수열의 공비(r) 대신 n에 대한 식을 올릴 수 있는 모양입니다. $\combi{a}_{n+1}=\combi{a}_n\times f\left(n\right)$an+1=an×f(n)
<풀이 방법> 1’st: n=1, 2, 3, …, (n-1)까지 대입한다. 대입하여 나온 식을 세로로 배열한다. 2’nd: 왼쪽 변끼리, 오른쪽 변끼리 곱셈. 순차 대입법 #5. 귀납적 정의 문제에서 매우 자주 출제되는 문제입니다. 꼭!!! 외웁시다. $\combi{a}_{n+1}=p\cdot \combi{a}_n+q$an+1=p·an+q
<풀이방법> $1″st\ :\ k=\frac{q}{1-p}\ 라고\ 놓는다。\ \ \left(\lim_{\combi{n}\to \combi{infty}})^{ } } }^{ }\combi{n}\to \combi{infty}}=$1’st:k=q1-p 고다는놓라{\。 (limn→combi+1=comban=k)$$2″rd\:\\combi{a}_{n+1}}-k\right)=p\cdot \left(\combi{a}_n-k\right)$2’nd : (an+1-k)=p·(an-k)$$3″rd\:\\combi{a}_n-k =\combi{x}_n $3’n $3′ -rd’ n =
#5. 귀납적 정의 문제로 출제되는 문제 중 가장 어려운 유형입니다. 꼭!!! 외웁시다. $p\cdot \combi{a}_{n+2}+q\cdot \combi{a}_{n+1}+r\cdot \combi{a}_n=0$p·an+2+q·an+1+r·an=0
이 문제는 일반항 앞에 탄 정수 p, q, r에 대해서 1)p+q+r=0 그렇다면$\combi<a}_{n+2}\Rightarrow.combi<x]^2\,\\\combi<a}_{n+1}\Rightarrow\x,. combi<a}_n\Rightarrow\1\\이라. 하면,$an+2⇒ x2 , an+1⇒ x, an⇒1이라 하면,$$$p\cdot\combi<x]^2+q\cdot x+r=0\이다.$p·x2+q.x+r=0이다.$$$여기에서,\x=\alpha ,\\beta$여기에서, x=α, β$$$\therefore\\combi<a}_n\=A.cdot\combi{\alpha}.{n-1}+B\cdot\combi{\beta}.{n-1}$∴ an=A·α n− 1+B·β n− 12) p+q+r—0이면 ①직접 계산하여 규칙을 찾는다.보통 2~12개 사이에서 규칙이 생긴다.그 중에서도 6개가 반복되는 문제가 많이 출제된다.② 피보나치 수열 $\combi{a}_{n+2}=\combi{a}_{n+1}+\combi{a}_n$an + 2=an + 1+an피보나치 수열다음과 같이 (n+2)개의 칸에 다음과 같은 규칙으로 흰 바둑돌과 검은 바둑돌을 배열하는 경우의 수는 어떻게 됩니까?<룰> 흰 바둑돌은 둘 이상 연속해서 배열할 수 없다.검은 바둑돌은 아무런 제한이 없다.n칸에 나열되는 경우의 수, (n+1)칸에 나열되는 경우의 수, (n+2)칸에 정렬되는 경우의 수를 각각 $\combi{a}_n, \ \ \ combi{a}_{n + 1}\, \ \ \ combi{a}_{n + 2}$an, an + 1, an + 2라고 하자.다음과 같이 (n+2)번째 칸에 흰 바둑돌이 놓이게 되면(n+1)번째 칸에는 반드시 검은 바둑돌이 놓여야 한다.그러면 그 이하 n개 칸에 바둑돌이 놓이는 모든 경우의 수와 같으므로 $\combi{a}_n$an가 된다. 다음과 같이 (n+2)번째 칸에 검은 바둑돌이 놓이게 되면(n+1)번째 칸에는 흰 바둑돌이 놓이든 검은 바둑돌이 놓이든 상관없습니다.따라서 (n+1)개의 바둑돌을 규칙에 맞게 배열하는 경우의 수와 같으므로, $\combi{a}_{n+1}\$an+1이 됩니다. 따라서 (n+2)개의 칸에 규칙과 같이 바둑돌을 배열하는 경우의 수는 $\combi{a}_{n+2}=\combi{a}_{n+1}+\combi{a}_n$an + 2=an + 1+an입니다.흰 바둑돌과 검은 바둑돌의 위치를 바꾸려면 적어도 몇 번 옮겨야 할까요?<규칙> 1.1칸에는 하나의 바둑돌밖에 놓을 수 없다.2. 바둑돌을 한 번에 하나만 옮길 수 있다.3. 바둑돌 옆에 빈자리가 있으면 빈자리로 옮길 수 있다.4. 한 번에 바둑돌을 하나만 뛰어넘을 수 있다.5. 다른 색의 바둑돌이 이웃했을 때 뛰어넘을 수 있고, 같은 색은 뛰어넘을 수 없다.아래 표처럼 검은 바둑돌 10개와 흰 바둑돌 10개의 위치를 바꾸기 위해서는 적어도 몇 번 옮겨야 하는지 살펴보도록 하겠습니다.바둑돌이 각각 1개씩 있는 경우부터 시작해서 규칙을 파악해 볼까요?최소 이동 횟수는 3회이고 초과 횟수는 1회입니다. 바둑돌이 각각 하나씩 있는 경우를 살펴보겠습니다.최소 이동 횟수는 8회이고 뛰어넘은 횟수는 4회입니다. 바둑돌이 각각 3개씩 있는 경우를 살펴보겠습니다.최소 이동 횟수는 15회이고 뛰어넘은 횟수는 9회입니다. 이런 세 번의 과정을 통해서 규칙을 살펴보도록 하겠습니다.최소 이동 횟수: 3, 8, 15, … 뛰어넘은 횟수: 1, 4, 9, …바둑돌이 옆으로 한 칸 이동한 횟수: 2, 4, 6, ……, 2n 바둑돌을 넘은 횟수: 1, 4, 9, ……n×n바둑돌이 옆으로 한 칸 이동한 횟수: 2, 4, 6, ……, 2n 바둑돌을 넘은 횟수: 1, 4, 9, ……n×n